Cho a,b là các số nguyên dương thay đổi và thỏa mãn \(\frac{ab+1}{a+b}<\frac{3}{2}\). Tìm giá trị lớn nhất của \(\frac{a^3b^3+1}{a^3+b^3}\)
Những câu hỏi liên quan
Cho a,b là các số dương thay đổi thỏa mãn: a+b=2
Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức: Q=\(\frac{a+b}{ab}+\frac{ab}{a+b}\)
Em thử nha, rất là thích BĐT :33
Áp dụng BĐT Cô-si cho 2 số dương ta có :
\(Q=\frac{a+b}{ab}+\frac{ab}{a+b}=\left(\frac{a+b}{4ab}+\frac{ab}{a+b}\right)+\frac{3\left(a+b\right)}{4ab}\ge2\sqrt{\frac{a+b}{4ab}\cdot\frac{ab}{a+b}}+\frac{3\left(a+b\right)}{4ab}\)
\(\ge2\cdot\frac{1}{2}+\frac{3\cdot2}{\left(a+b\right)^2}=1+\frac{3}{2}=\frac{5}{2}\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=1\)
Vậy : min \(Q=\frac{5}{2}\) tại \(a=b=1\)
Cho hai số thực dương a và b thay đổi thỏa mãn đồng thời các điều kiện:
\(|a-2b|\le\frac{1}{\sqrt{a}},|b-2a|\le\frac{1}{\sqrt{b}};\)Tìm giá trị lớn nhất của tích ab.
1) Cho 2 số dương x;y thay đổi thỏa mãn xy=2.
Tìm GTNN của M=\(\frac{1}{x}+\frac{2}{y}+\frac{3}{2x+y}\)
2) Cho a,b là các số dương thay đổi thỏa mãn a+b=2.
Tìm GTNN của Q=\(2\left(a^2+b^2\right)-6\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)+9\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}\right)\)
mọi người giúp mình 2 bài này với, xin cảm ơn
Cho các số nguyên dương a, b, c thỏa mãn (a,b,c) = 1 và \(\frac{ab}{a-b}\)= c. Chứng minh rằng a - b là số chính phương
Cho a,b,c là 3 số dương cho trước còn x,y,z là ba số dương thay đổi, luôn luôn thỏa mãn ĐK : \(\frac{a}{x}=\frac{b}{y}=\frac{c}{z}=1\)
Đề bài mik chép thiếu : Hãy tìm GTLN của S = x + y + z
Đúng 0
Bình luận (0)
Giả sử a, b là hai số nguyên dương thay đổi thỏa mãn (ab+1)/(a+b)<3/2 hãy tìm GTLN của P= (a^3 * b^3 +1)/(a^3 +b^3
)
Với \(a\) hoặc \(b=1\Rightarrow P=1\)Ta có:
\(\frac{ab+1}{a+b}< \frac{3}{2}\Rightarrow2ab+2< 3a+3b\Rightarrow2ab+2-3a-3b< 0\)
\(\Leftrightarrow a\left(2b-3\right)+2-3b< 0\Rightarrow2a\left(2b-3\right)+4-6b< 0\)
\(\Leftrightarrow2a\left(2b-3\right)-3\left(2b-3\right)< 5\Leftrightarrow\left(2a-3\right)\left(2b-3\right)< 5\)
Giả sử \(a\le b\Rightarrow-1\le2a-3\le2b-3\)(vì a,b nguyên dương)
Nếu \(2a-3=-1\Rightarrow a=1\Rightarrow P=1\left(1\right)\)Nếu \(2a-3=1\Rightarrow a=2\)+)Nếu \(2b-3=1\Rightarrow b=2\Rightarrow P=\frac{65}{16}\left(2\right)\)
+)Nếu \(2b-3=3\Rightarrow b=3\Rightarrow P=\frac{31}{5}\left(3\right)\)
Vậy so sánh \(\left(1\right);\left(2\right);\left(3\right)\Rightarrow P_{Max}=\frac{31}{5}\)
Đúng 0
Bình luận (0)
Bài 1:Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn $a^3+b^3+c^3−3abc1$ .Tìm minP$a^2+b^2+c^2$Bài 2: Cho a,b,c,d thỏa mãn abcd và ac+bd(b+d+a−c)(b+d−a+c) . Chứng minh ab+cd là hợp sốBài 3:1. Tìm hai số nguyên dương a và b thỏa mãn $a^2+b^2[a,b]+7(a,b)$(với [a,b]BCNN(a,b);(a,b)UCLN(a,b))2. Cho ΔABC thay đổi có AB6,AC2BC.Tìm giá trị lớn nhất của diện tích ΔABC.Bài 4: Cho a,b,c là các số nguyên tố thỏa mãn: $20abc30(a+b+c)21abc$. Tìm a,b,c.
Đọc tiếp
Bài 1:Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn $a^3+b^3+c^3−3abc=1$ .Tìm minP=$a^2+b^2+c^2$
Bài 2: Cho a,b,c,d thỏa mãn a>b>c>d và ac+bd=(b+d+a−c)(b+d−a+c) . Chứng minh ab+cd là hợp số
Bài 3:
1. Tìm hai số nguyên dương a và b thỏa mãn $a^2+b^2=[a,b]+7(a,b)$(với [a,b]=BCNN(a,b);(a,b)=UCLN(a,b))
2. Cho ΔABC thay đổi có AB=6,AC=2BC.Tìm giá trị lớn nhất của diện tích ΔABC.
Bài 4: Cho a,b,c là các số nguyên tố thỏa mãn: $20abc<30(a+b+c)<21abc$. Tìm a,b,c.
Cho các số nguyên dương a,b,n thỏa mãn
\(\frac{a}{b}\)=\(\frac{a^2+n^2}{b^2+n^2}\)
Chứng minh ab là số chính phương
\(\dfrac{a}{b}-1=\dfrac{a^2+n^2}{b^2+n^2}-1\Rightarrow\dfrac{a-b}{b}=\dfrac{\left(a-b\right)\left(a+b\right)}{b^2+n^2}\)
TH1: \(a=b\) thì \(ab=a^2\) là SCP
TH2: \(a\ne b\Rightarrow\dfrac{1}{b}=\dfrac{a+b}{b^2+n^2}\)
\(\Rightarrow b^2+n^2=b\left(a+b\right)\Rightarrow ab=n^2\) là SCP
Đúng 4
Bình luận (0)
Cho các số nguyên dương a > b thỏa mãn: ab − 1 và a + b nguyên tố cùng
nhau; ab + 1 và a − b nguyên tố cùng nhau. Chứng minh rằng: (a + b)^2 + (ab-1)^2 không phải là một số chính phương.
thật ra nó là lớp 7 đấy nhưng mình nghĩ lớp 8 mới giỏi mói giải đc
Đúng 1
Bình luận (1)
Giả sử \(a^2+1\) và \(b^2+1\) cùng chia hết cho số nguyên tố p
\(\Rightarrow a^2-b^2⋮p\)
\(\Rightarrow\left(a-b\right)\left(a+b\right)⋮p\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}a-b⋮p\\a+b⋮p\end{matrix}\right.\).
+) Nếu \(a-b⋮p\) thì ta có \(\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)-\left(a-b\right)^2⋮p\Rightarrow\left(ab+1\right)^2⋮p\Rightarrow ab+1⋮p\) (vô lí do (a - b, ab + 1) = 1)
+) Nếu \(a+b⋮p\) thì tương tự ta có \(ab-1⋮p\). (vô lí)
Do đó \(\left(a^2+1,b^2+1\right)=1\).
Giả sử \(\left(a+b\right)^2+\left(ab-1\right)^2=c^2\) với \(c\in\mathbb{N*}\)
Khi đó ta có \(\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)=c^2\).
Mà \(\left(a^2+1,b^2+1\right)=1\) nên theo bổ đề về số chính phương, ta có \(a^2+1\) và \(b^2+1\) là các số chính phương.
Đặt \(a^2+1=d^2(d\in\mathbb{N*})\Rightarrow (d-a)(d+a)=1\Rightarrow d=1;a=0\), vô lí.
Vậy ....
Đúng 0
Bình luận (0)